《数学少年-从正负号到几何原本》(第九章：“万物建模，方程作答“)--9.2 行路与买卖

第九章 · 万物建模方程作答卷首语生活里所有等量难题都能翻译成含未知数的等式。把现实故事转化为数学模型答案自然清晰浮现。9.2 行路与买卖秋日的傍晚晚风轻柔褪去了午后的燥热。三人结束了一天的课程并肩走在放学的路上路边梧桐叶轻轻飘落街道旁的文具店、书店陆续亮起暖光烟火气十足。刚学完9.1静态的配比、分工、工程模型林默对“找等量、建方程”的思路熟练了不少但新的困惑又随之而来。“之前的工程、配套题总量、比例都是固定不变的静静摆在那里等着我们列式。”林默边走边思考语气带着些许困惑“可我最怕两类题一是人走路、车子行驶的行程题一直在动、位置一直在变二是打折、买卖、赚利润的销售题价格、折扣、进价售价绕来绕去变量太多根本抓不住相等的地方。”很多初一学生的难点都集中于此静态总量好把控动态变化最难抓等量。物体在移动、价格在变动看似没有固定数值实则藏着不变的平衡关系。苏晚顺着放学行路的场景就地取材开启了本节的动态建模学习“刚好我们现在并肩走路这就是最真实的行程场景。所有相遇、追及问题不用死记公式只要学会画线段图把动态的运动过程画成静态线段所有等量关系一眼就能看清。”程远点头附和帮本节知识点定调“上一节我们学的是‘静态守恒’总量不变、比例不变这一节我们学动态守恒。行路运动、商品交易一直在变但路程和、速度差、成本差价永远守恒这就是动态方程建模的核心。”三人放慢脚步在路边石凳停下先从最直观的行程问题入手。苏晚以放学同行场景举例讲解相遇问题“假设林默从学校出发步行回家每分钟走60米我从同一条路的家中出发返校每分钟走80米。我们两地相距700米同时出发、相向而行多久能够相遇”以往林默只会凭感觉乱算如今学会了建模思维立刻抓住关键两人同时出发相遇时行走时间完全相同。苏晚随手在空中画出简易线段图学校到家为总路程两段线段分别代表两人行走的路程。“相遇问题的永恒等量甲路程 乙路程 总路程。”林默立刻上手设未知数设两人x xx分钟后相遇。根据路程速度×时间列出完整方程60 x 80 x 700 \boldsymbol{60x80x700}60x80x700。列式完成的瞬间林默豁然开朗“原来再复杂的相向运动拆开就是两段路程相加等于总长线段图真的能把动态问题直接变静态等式”紧接着程远补充了极易混淆的追及问题同样结合行路场景“如果我们两人同向而行林默先走2分钟我每分钟比你快30米多久能追上你”追及问题不再是路程相加而是路程相等。追及的核心不变量是追上瞬间两人位置相同、行走总路程相等。设x xx分钟后追上慢速者总路程快速者总路程列出方程60 ( 2 x ) 90 x \boldsymbol{60(2x)90x}60(2x)90x。程远点出高频易错点相遇看“路程和”追及看“路程差”很多同学混淆两类模型导致列式完全颠倒。只要坚持画线段图就绝不会出错。表1行程问题两大基础模型汇总题型核心等量关系建模要点高频易错点相遇相向而行甲路程 乙路程 总路程同时出发相遇时时间相等推荐画线段图混淆速度相加、路程相加逻辑追及同向而行先行者总路程 追及者总路程追上瞬间位置相同留意提前出发的时长分不清路程和、路程差列式颠倒吃透行路动态模型三人转身看向街边的文具店顺势切入第二类高频动态题型——销售利润问题。“行程是位置在动销售是价格在动。”苏晚指着橱窗里的文具娓娓道来“一件商品有进价、标价、折扣、售价、利润看着名词很多、变化很多但核心等量永远不变。”她给出经典实景例题一款笔记本进价10元老板标价15元最终打折售出后依旧获利2元请问这款笔记本打了几折林默试着拆解名词梳理关系利润售价-进价这是销售问题的核心铁律。程远帮他规范建模设打x xx折折后售价为“标价×折扣”根据利润恒定列方程15 × 0.1 x − 10 2 \boldsymbol{15\times 0.1x-102}15×0.1x−102。“买卖问题所有动态变化全部围绕这一条等式展开。”程远总结道“涨价、降价、打折、促销无论价格怎么变利润永远等于售价减去成本进价这是销售问题的动态守恒底线。”表2销售利润问题核心公式辨析表名词含义计算公式易错提醒进价成本商家拿货价格——不要和标价、售价混淆标价商品挂牌原价——打折计算需 ×0.1售价实际卖出价格标价 × 0.1 × 折扣数直接用折扣相乘遗漏 ×0.1利润赚取差价利润 售价 − 进价误将标价当作进价计算利润为了让林默彻底避开考试陷阱苏晚拿出一道真实错题复盘常见失误有同学做题时混淆进价和售价误把标价当作成本或者计算折扣时忘记乘0.1直接用折扣数相乘导致整题失分。林默看着错题恍然大悟“难怪我以前总做错销售题不是公式不会是名词分不清、动态变化理不顺找不到不变的等量关系。”至此本节两大动态建模体系彻底打通行路问题运动状态一直在变但总路程、路程差恒定买卖问题价格折扣一直在变但利润、成本关系恒定。林默彻底摆脱了动态应用题的畏难心理完美承接上一节的解题规范“不管是静态配比还是动态变化建模逻辑是统一的审题找等量、设未知、列方程、解方程、验算答句。只要抓住不变量所有变化的题目都能破解。”表3静态 VS 动态应用题建模对比分类代表题型守恒核心解题辅助工具静态建模9.1工程合作、零件配套、人员调配总量不变 / 固定配比不变文字梳理、列表整理条件动态建模9.2行程相遇追及、商品打折销售路程和/差恒定、利润公式恒定线段图、梳理价格名词通用完整流程全部一元一次方程应用题寻找不变等量列方程设元→列式→求解→现实验算三人顺着晚风往家的方向走去从脚下的行路轨迹到街边的商铺买卖终于真正读懂了数学建模本就是为了解决生活里所有动态变化的现实问题。本节核心笔记行程问题核心模型动态行路等量基础公式路程 速度 × 时间相遇问题相向而行甲路程 乙路程 总路程多用于同时出发、中途相遇场景优先画线段图解等量。追及问题同向而行快者路程 - 慢者路程 路程差追上瞬间两者路程相等是列式核心依据。销售利润问题核心模型动态买卖等量核心铁律利润 售价 - 进价成本售价计算售价 标价 × 折扣折扣几折就乘零点几盈利、亏损、打折促销所有题型全部依托以上两组公式变形。动态建模核心思维运动、价格、折扣、速度全部属于动态变量做题不盯着“变化的量”只抓“不变的等量关系”化动为静搭建方程。全书通用五步解题法复用巩固审找等量→ 设设未知→ 列建方程→ 解规范求解→ 验答验等式、验现实、写答句练习与思考A组 · 基础巩固基础动态模型1.【相遇问题】甲乙两人从相距600米的两地同时出发相向而行甲每分钟走70米乙每分钟走50米几分钟后两人相遇2.【追及问题】小明每分钟走65米小华每分钟走80米小明先出发3分钟小华多久可以追上小明3.【基础销售】一件商品进价80元标价120元打折后利润为16元求商品打了几折B组 · 能力提升综合动态题型相遇变式两地相距480米甲乙同时相向而行甲速60m/min乙速40m/min出发多久后两人相距80米考虑两种情况追及综合甲乙两人同向而行甲在前每分钟50米乙在后每分钟75米初始相距100米多久乙追上甲销售综合一件衣服进价150元按标价八折出售仍可获利50元求这件衣服的标价是多少元C组 · 深度辨析为什么行程问题一定要画线段图说说“化动态为静态”在建模中的作用。辨析错题某同学算折扣题直接用标价×折扣数没有乘0.1错在哪里写出正确计算逻辑。本节伏笔本节我们掌握了动态变化的两大核心模型行程运动与销售买卖学会在不断变化的场景中抓取恒定等量。至此初一一元一次方程四大核心应用题模型——工程配比、资源调配、行程动态、销售利润全部学完。下一节将进入另外的模型——岁月与选择。