e 是如下定义的.e 要证明e是存在的, 需要证明2步,1. 它有上界.2. 对于n0,,函数是单调递增的.一: 证明它有上界:我们设函数 yf(x) 把后面的式子按二项式展开.上面这个数列是一个收敛很快的数列, 所以有上界,证明如下: (比日取其半,万世不结的序列还快速收敛) 3后面那些小数加起来也不超过1(按2的n次方衰减是收敛的,这个证明很简单,此处就忽略证明了),如此证明 了3 是它的一个上界!同时也证明了2是它的一个下界(忽略后面的正的小数项). 证递增时会用到它.二: 证明该函数是单调递增的.考察 yg(x)ln(f(x))当n 趋于无穷时, y 是0 的.再对y 求导数:对该函数求导:这里我们又用到了它的下界大于2 , 这不是循环调用,我们只用了它的下界2.既然导数0, 所以该函数递增. 该函数是个对数函数, 对数函数是递增的,则原函数也是递增的(n0时),由此证明了是递增的.结合1,2, 知道这个极限确实是存在的. 所以我们大大方方的把它定为e.这个数在求极限中,在求导数,积分中会大显身手的! 它就是这么自然的出现的,是一个极限数,所以人们叫它自然数e.还觉得自然数e来的不够自然? 好,再列举一个重要的极限, 这也是一个0/0极限, 尽管它也很重要,不过由于它的比值是1,就不那么特殊了,因为我们早就认识1了. 而当我们见到e时, 确实使我们吃了一惊, 不可小觑, 这是一个新成员来到了!补充: 数列单调性证明方法2, 二项式展开法.前面再还没有证明e存在前就使用ln函数逻辑上是有问题的,下面用基础二项式展开证明.上面的展开我用的是copy, 用ascii 码我写不出那种格式. 只能用ascii 描述了.可将(11/n)的n次方的数据项依次展开,如上图示, 与(11/(n1))的n1次方对应项比较.发现第一项,第二项两个都为1,从第三项开始后面都比前面大,而且,后面比前面还多最后一项正项1/(2!*(n1)^^(n1)), 所以后式前式, 单调性得证.
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