红色病毒问题 完整递推过程无乱码、格式清晰、步骤严谨全程梳理状态定义→转移方程→化简推导→通项公式步骤清晰、公式规范所有推导可验证直接对应代码实现。题目核心要求构造长度为n的字符串仅由 A、B、C、D 组成要求A 出现偶数次含 0 次、C 出现偶数次含 0 次B、D 无限制求满足条件的字符串个数记为a[n]即最终答案。第一步定义 4 个互斥且全覆盖的状态递推基础按A、C 的奇偶性划分所有字符串无遗漏、无重复且 A 和 C 地位完全对称仅要求均为偶次无其他区别。设长度为n时a[n]A 偶次、C 偶次目标答案需最终求解b[n]A 偶次、C 奇次c[n]A 奇次、C 偶次d[n]A 奇次、C 奇次两个基础结论恒成立后续全程复用总个数结论长度为n的字符串总个数 4 个状态之和即a[n]b[n]c[n]d[n]4n每个位置有 4 种字符选择n 个位置的总排列数同理长度为n-1时a[n−1]b[n−1]c[n−1]d[n−1]4n−1。对称性结论A、C 地位对称因此偶 A 奇 C 的数量等于奇 A 偶 C 的数量即b[n]c[n]b[n−1]c[n−1]。减少变量简化后续推导第二步推导状态转移方程从 n-1 推 n核心步骤长度为n的字符串可由长度为 n-1 的字符串末尾添加 1 个字符A/B/C/D得到。核心规律添加某字符仅改变该字符的奇偶性偶→奇、奇→偶不影响其他字符的奇偶性。逐一推导 4 个状态的转移方程明确添加的字符类型 可选数量。转移 1推导目标状态a[n]A 偶、C 偶要得到n时的 A 偶、C 偶需从n-1的状态出发添加字符后最终 A、C 均为偶次从a[n-1]A 偶、C 偶加 B/D不改变奇偶性→ 2 种选择从b[n-1]A 偶、C 奇加 CC 奇→偶A 保持偶→ 1 种选择从c[n-1]A 奇、C 偶加 AA 奇→偶C 保持偶→ 1 种选择从d[n-1]A 奇、C 奇加 1 个字符无法同时让 A、C 变偶→ 0 种选择结合对称性b[n-1]c[n-1]得转移方程a[n]2a[n−1]b[n−1]c[n−1]2a[n−1]2b[n−1]转移 2推导b[n]A 偶、C 奇要得到n时的 A 偶、C 奇同理分析添加字符的选择从a[n-1]A 偶、C 偶加 CC 偶→奇A 保持偶→ 1 种选择从b[n-1]A 偶、C 奇加 B/D不改变奇偶性→ 2 种选择从c[n-1]A 奇、C 偶加 1 个字符无法同时满足 A 偶、C 奇→ 0 种选择从d[n-1]A 奇、C 奇加 AA 奇→偶C 保持奇→ 1 种选择得转移方程b[n]a[n−1]2b[n−1]d[n−1]转移 3推导d[n]A 奇、C 奇要得到n时的 A 奇、C 奇同理分析添加字符的选择从a[n-1]A 偶、C 偶加 1 个字符无法同时让 A、C 变奇→ 0 种选择从b[n-1]A 偶、C 奇加 AA 偶→奇C 保持奇→ 1 种选择从c[n-1]A 奇、C 偶加 CC 偶→奇A 保持奇→ 1 种选择从d[n-1]A 奇、C 奇加 B/D不改变奇偶性→ 2 种选择结合对称性b[n-1]c[n-1]得转移方程d[n]b[n−1]c[n−1]2d[n−1]2b[n−1]2d[n−1]第三步核心化简消去冗余状态得到a[n]单变量递推式目标消去b[n]、d[n]仅保留目标状态a[n]推导可直接计算的单变量递推公式。化简 1推导a[n]d[n]与b[n]的关系关键关系式将目标状态a[n]和状态d[n]的转移方程相加展开并整理a[n]d[n][2a[n−1]2b[n−1]][2b[n−1]2d[n−1]]2a[n−1]4b[n−1]2d[n−1]2[a[n−1]2b[n−1]d[n−1]]此时观察b[n]的转移方程我们能发现括号内的部分正好等于b[n]即b[n]a[n−1]2b[n−1]d[n−1]。将这个关系代入上式可得到一个关键的简化关系式a[n]d[n]2b[n]同时这个关系式对n-1也成立只需将所有n替换为n-1即a[n−1]d[n−1]2b[n−1]化简 2结合总个数结论消去d[n]由总个数结论a[n]b[n]c[n]d[n]4n结合两个已知条件对称性结论b[n]c[n]刚才推导的关键关系式2b[n]a[n]d[n]将这两个条件代入总个数公式展开整理a[n]2b[n]d[n]a[n](a[n]d[n])d[n]2a[n]2d[n]a[n]d[n]4n4n4n2⋅4n−1同理这个结论对n-1也成立即a[n−1]d[n−1]2⋅4n−2化简 3得到a[n]的单变量递推式从化简 1 的结论中我们知道2b[n-1] a[n-1] d[n-1]再结合化简 2 中n-1的结论a[n−1]d[n−1]2⋅4n−2将两者联立替换可得2b[n−1]2⋅4n−2⟹b[n−1]4n−2将这个结果代入目标状态a[n]的转移方程最终得到无冗余的单变量递推式a[n]2a[n−1]2⋅4n−22a[n−1]4n−1初始条件n1 时满足条件的字符串为 B、D共 2 个 → a[1]2。第四步推导a[n]的通项公式直接计算无需递推从单变量递推式a[n]2a[n−1]4n−1a[1]2出发用累加法推导通项全程无跳步。步骤 1展开递推式k≥2a[2]−2a[1]a[3]−2a[2]a[4]−2a[3]⋮a[n]−2a[n−1]4142434n−1步骤 2乘系数消去中间项第 1 式 ×2n−2第 2 式 ×2n−3…第 n-1 式 ×20得到2n−2a[2]−2n−1a[1]2n−3a[3]−2n−2a[2]⋮20a[n]−21a[n−1]2n−2⋅412n−3⋅4220⋅4n−1将所有式子相加中间项全部抵消仅剩首项和末项a[n]−2n−1a[1]2n−2⋅412n−3⋅42...20⋅4n−1步骤 3计算右侧等比数列和将右侧统一底数为 24k22k整理为等比数列右侧2n−2⋅222n−3⋅24...20⋅22(n−1)2n2n1...22n−2该等比数列首项2n公比 2项数 n-1用等比数列和公式Sa1⋅q−1qm−1计算右侧2n⋅2−12n−1−122n−1−2n步骤 4代入初始条件得到通项将初始条件a[1]2代入整理得a[n]−2n−1⋅2a[n]−2na[n]22n−1−2n22n−1−2n22n−1−2n−1刷题通用化简版通项直接套代码将通项公式转化为底数 4 和 2 的形式更适合快速幂计算a[n]24n−22n24n−2n4n−12n−1✅最终刷题通用公式a[n]4n−12n−1代码中用快速幂分别计算4n−1%100和2n−1%100相加后再模 100 即可。第五步验证正确性代入小 n 值手动核对n1a[1]4020112 ✅仅 B、D共 2 个n2a[2]4121426 ✅BB、BD、DB、DD、AC、CA共 6 个n3a[3]422216420 ✅手动计数验证结果一致n4a[4]432364872 ✅经典样例直接对应代码输出最终核心结论一目了然直接对应代码状态递推式a[n]2a[n−1]4n−1初始条件a[1]2刷题通用通项a[n]4n−12n−1核心公式代码直接实现代码计算逻辑快速幂计算4n−1%100和2n−1%100相加后模 100即为最终答案。总结本次调整移除了容易产生乱码的公式括号标注改用文字清晰说明关键关系式推导逻辑保持完整。核心关系式 a[n]d[n]2b[n] 推导过程无跳步可直接对应后续化简步骤无歧义。最终通项公式 a[n]4n−12n−1 是代码实现的核心可直接结合快速幂模板求解。
