特征向量与特征值特征空间与矩阵对角化特征向量与特征值1.定义有如果Ax⃗λx⃗A\vec xλ\vec xAxλx存在非平凡解那么标量λλλ是x⃗\vec xx的特征值x⃗\vec xx是λλλ对应的特征向量eg1.特征向量又有什么作用在线性变换的过程中特征向量的方向始终是保持不变的只是进行了拉伸or缩放这也与他对应的特征值相关特征值反应特征向量的变化倍数。之后如果我们把这个空间将特征值和特征向量作为基底坐标轴来看就没有那么多旋转剪切之类复杂的变化将复杂的空间变化变成了简单的相互独立的拉伸或压缩变化。也就是对角化思想2.特征空间特征空间就是在不同特征值λλλ的情况下属于他的特征向量和零向量0⃗\vec 00共同组成的张成空间。定义有方程(A−λI)x⃗0(A-λI)\vec x0(A−λI)x0的所有解构成的集合其实就是矩阵A−λIA−λIA−λI的零空间。因此这个集合是一个子空间被称为矩阵AAA对应于λλλ的特征空间eg2.特征方程1.标量是××n×n矩阵A的特征值当且仅当 $ $满足特征方程det(−)0det(−)0det(A−I)02.三角矩阵的特征值就是其主对角线上的元素Multiplicities 重数设p(λ)det(A−λI)p(\lambda) \det(A - \lambda I)p(λ)det(A−λI)为矩阵AAA的特征多项式。如果(λ−λ0)k(\lambda - \lambda_0)^k(λ−λ0)k能整除p(λ)p(\lambda)p(λ)但(λ−λ0)k1(\lambda - \lambda_0)^{k1}(λ−λ0)k1不能整除p(λ)p(\lambda)p(λ)我们就称特征值λ0\lambda_0λ0的代数重数为kkk。”1.几何重数这个特征值对应多少特征向量2.代数重数特征值重复了多少次例如我们可以得到4(2)(−6)^4(2)(-6)4(2)(−6)000,−2-2−2,4440的代数重数是4 几何重数需要具体的矩阵带入计算3.如果v⃗1,v⃗2…,v⃗r\vec v_1 ,\vec v_2 …,\vec v_rv1,v2…,vr是特征向量它们对应于不同的特征值λ1,λ2,…,λrλ_1,λ_2,…, λ_rλ1,λ2,…,λrn × n矩阵则集合{KaTeX parse error: Expected group after _ at position 29: …c v_2 …,\vec v_̲}是线性无关的。相似性/相关性定义有如果矩阵AAA和BBB相关那么一定有一个可逆的矩阵PPP令APBP−1APBP^{-1}APBP−1成立这个性质可以用在简化计算如果矩阵AAA十分复杂而矩阵BBB结构简单那么可以进行转换例如AkPBP−1PBP−1....PBP−1PBkP−1A^kPBP^{-1}PBP^{-1}....PBP^{-1}PB^kP^{-1}AkPBP−1PBP−1....PBP−1PBkP−1如果BBB是对角矩阵计算又会更加简单这里矩阵AAABBB的线性变化是一样的只是在不同的基底下进行的所以他们的特征向量和对应的特征值应该是一致的矩阵对角化定义有如果矩阵AAA相似于对角矩阵DDD我们就称AAA是可对角化的。换句话说只要存在一个可逆矩阵PPP使得APDP−1A PDP^{-1}APDP−1成立即可。上面提到了矩阵对角化的思想现在矩阵对角化的基本条件1.矩阵有n个不同的特征向量2.特征向量都是线性无关的2求矩阵AAA的对角化矩阵方法对于n×nn×nn×n矩阵AAA1.判断先判断是否可以对角化求出特征值以及对应的特征空间记作v⃗1....v⃗m\vec v_1....\vec v_mv1....vm当且仅当特征向量的个数n时才是可对角化的必须有n个特征向量或者说这一步是判断nnn个特征向量是否线性无关的2.组装对角矩阵DDD和可逆矩阵PPP如果 mn 那么d(110.....00220033.....000.....kk....0)d\begin{pmatrix}_{11}0.....0\\ 0_{22}\\00_{33}.....0\\00....._{kk}....0\end{pmatrix}d1100002200.....33.....0.....kk0....0P[v⃗1...v⃗m]P[\vec v_1...\vec v_m]P[v1...vm]如果mn那么A一定是不可对角化的eg3.3存在定理1≤k≤p1 ≤ k ≤ p1≤k≤p几何重数特征空间的维度一定是小于或等于其对应的代数重数的当且仅当kpkpkp时矩阵才可对角化eg4.例题答案3.在这里插入图片描述
