题目若函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续那么函数f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上有界。证明用反证法不妨设f(x)f(x)f(x)在在闭区间[a,b][a,b][a,b]上无上界那么一定可以在闭区间[a,b][a,b][a,b]上取到一组数列{xn}\{x_n\}{xn}使得f(x1)1f(x2)2f(x3)3⋮f(xn)n⋮ f(x_1)1\\ f(x_2)2\\ f(x_3)3\\ \vdots\\ f(x_n)n\\ \vdots\\f(x1)1f(x2)2f(x3)3⋮f(xn)n⋮因为数列{xn}⊂[a,b]\{x_n\}\subset[a,b]{xn}⊂[a,b]所以数列{xn}\{x_n\}{xn}是有界数列根据致密性定理数列{xn}\{x_n\}{xn}有收敛子数列{xnk}\{x_{n_k}\}{xnk}设其极限为x0x_0x0即limk→∞xnkx0 \lim_{k\to\infty}x_{n_k}x_0\\k→∞limxnkx0因为a≤xnk≤ba\leq x_{n_k}\leq ba≤xnk≤b由极限的保不等式性知a≤x0≤ba\leq x_0\leq ba≤x0≤b所以函数fff在点x0x_0x0处连续即limx→x0f(x)f(x0) \lim_{x\to x_0}f(x)f(x_0)\\x→x0limf(x)f(x0)由海涅定理知limk→∞f(xnk)limx→x0f(x)f(x0)(1) \lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})\lim_{x\to x_0}f(x)f(x_0)\tag{1}k→∞limf(xnk)x→x0limf(x)f(x0)(1)又因为f(xnk)nkf(x_{n_k})n_kf(xnk)nk而limk→∞nk∞\lim\limits_{k\to\infty}n_k\inftyk→∞limnk∞故limk→∞f(xnk)∞(2) \lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})\infty\tag{2}k→∞limf(xnk)∞(2)(1)和(2)矛盾故假设不成立用同样的方法可以证明f(x)f(x)f(x)在在闭区间[a,b][a,b][a,b]上无下界。得证。
