0、前言复向量的内积它是两个复向量相似度的复数度量模反映模式匹配程度辐角反映整体相位差。下一步自然要问怎么把这种相似度变成“一个向量中真正与另一个向量同步的那部分这就是投影。1、投影的定义在Cn\mathbb{C}^nCn中给定一个非零向量v\mathbf{v}v对任意u\mathbf{u}u我们找到了**沿v\mathbf{v}v方向的向量p\mathbf{p}p使得u−p\mathbf{u-p}u−p与v\mathbf{v}v正交内积为0这个p\mathbf{p}p就叫做u\mathbf{u}u在v\mathbf{v}v上的正交投影。利用标准厄米内积⟨a,b⟩∑a‾kbk\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle \sum\overline{a}_kb_k⟨a,b⟩∑akbk正交条件为⟨v,u−p⟩0 \langle \mathbf{v}, \mathbf{u-p} \rangle 0⟨v,u−p⟩0令pcv\mathbf{p} c\mathbf{v}pcv其中c∈Cc\in\mathbb{C}c∈C代入⟨v,u⟩−c⟨v,v⟩0 ⟹ c⟨v,u⟩∥v∥2 \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle-c\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle 0 \implies c\frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}{\|\mathbf{v}\|^2}⟨v,u⟩−c⟨v,v⟩0⟹c∥v∥2⟨v,u⟩因此得到复向量投影的完整定义projvu⟨v,u⟩∥v∥2v\boxed{ \mathbf{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} \frac{\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle}{\|\mathbf{v}\|^2}\mathbf{v} }projvu∥v∥2⟨v,u⟩v几点说明投影结果是一个向量依然平行于v\mathbf{v}v只是被复数系数ccc缩放包括幅度和相位。系数ccc的分子是⟨v,u⟩\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle⟨v,u⟩这与我们内积定义中第一个向量取共轭一致。当v\mathbf{v}v是单位向量∥v∥1\|\mathbf{v}\|1∥v∥1时公式退化为极简形式projvu⟨v,u⟩v\boxed{ \mathbf{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle\mathbf{v} }projvu⟨v,u⟩v模∣c∣|c|∣c∣决定了投影向量的长度∥p∥∣c∣⋅∥v∥\|\mathbf{p}\||c|\cdot\|\mathbf{v}\|∥p∥∣c∣⋅∥v∥。它度量的是u\mathbf{u}u在v\mathbf{v}v方向上的“有效振幅”——只有那些与v\mathbf{v}v同模式的分量才能被保留。辐角argcarg cargc将v\mathbf{v}v旋转这个角度后投影p\mathbf{p}p与u\mathbf{u}u的剩余分量在复内积意义下达到“最同相”。实际上argcargcargc恰好是v\mathbf{v}v和u\mathbf{u}u之间的“加权平均相位差”现在是从v\mathbf{v}v到u\mathbf{u}u的方向。u\mathbf{u}u在v\mathbf{v}v方向上的投影是v\mathbf{v}v方向上离u\mathbf{u}u最近的那个向量。2、正交分解——把任何一个向量撕成两半2.1、定义投影的直接产物是正交分解upw, pprojvu, wu−p \mathbf{u}\mathbf{p}\mathbf{w}, \ \ \ \mathbf{p}\mathbf{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}, \ \ \ \ \mathbf{w} \mathbf{u} - \mathbf{p}upw,pprojvu,wu−p其中p\mathbf{p}p平行于v\mathbf{v}v相干分量w\mathbf{w}w与v\mathbf{v}v正交即⟨v,w⟩0\langle \mathbf{v}, \mathbf{w} \rangle 0⟨v,w⟩0不相干分量而且范数满足勾股定理在厄米内职下∥u∥2∥p∥2∥w∥2 \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{p}\|^2\|\mathbf{w}\|^2∥u∥2∥p∥2∥w∥22.2、计算实例给定向量是:v(1i), u(2i12i) \mathbf{v}\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}, \ \ \ \mathbf{u} \begin{pmatrix} 2i \\ 12i \end{pmatrix}v(1i),u(2i12i)投影公式p⟨v,u⟩⟨v,v⟩v(22i) \mathbf{p} \frac{\langle \mathbf{v},\mathbf{u} \rangle}{\langle \mathbf{v},\mathbf{v} \rangle}\mathbf{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 2i \end{pmatrix}p⟨v,v⟩⟨v,u⟩v(22i)wu−p(i1) \mathbf{w}\mathbf{u}-\mathbf{p}\begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}wu−p(i1)几何意义p(22i)\mathbf{p} \begin{pmatrix} 2 \\ 2i \end{pmatrix}p(22i)平行于v(1i)\mathbf{v} \begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix}v(1i)是u\mathbf{u}u中与v\mathbf{v}v“同模式”的相干分量。w(i1)\mathbf{w} \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix}w(i1)是与v\mathbf{v}v正交是u\mathbf{u}u中与v\mathbf{v}v“完全不相干”的残留部分。整个分解类似于直角三角形u\mathbf{u}u是斜边p\mathbf{p}p和w\mathbf{w}w是两直角边厄米内积下的勾股定理保证了长度的平方分解。3、直观理解——“相干分量提取器”你可以把投影想象成一台复杂的滤波器你有参考信号v\mathbf{v}v比如某个期望的极化状态或者波导中的某个模式。你拿进来的实际信号是u\mathbf{u}u投影运算问两个问题u\mathbf{u}u里面有多少振幅是跟着v\mathbf{v}v的节奏走的由∣c∣|c|∣c∣回答。这个节奏整体比v\mathbf{v}v领先或落后了多少相位由argcargcargc回答。然后把v\mathbf{v}v按这两个答案缩放旋转就得到了“相干复制品”p\mathbf{p}p。剩下的w\mathbf{w}w则是与v\mathbf{v}v彻底“不合拍”的部分无论振幅多大投影后都归零。当⟨v,u⟩0\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle0⟨v,u⟩0时投影系数为零投影本身就是零向量。这就意味着在v\mathbf{v}v的方向上u\mathbf{u}u没有任何有效成分它们完全正交就像垂直极化天线收不至水平极化波一样。
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