=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B))
这是一个非常好的问题很多同学在推导到这一步时都会产生类似的直觉混淆。我们之所以用sin(B)\sin(B)sin(B)而不是cos(B)\cos(B)cos(B)可以从以下两个角度来理解角度一利用通用的三角形面积公式最直观在任意三角形中有一个非常经典的面积公式面积12×边1×边2×sin(两边的夹角)\text{面积} \frac{1}{2} \times \text{边}_1 \times \text{边}_2 \times \sin(\text{两边的夹角})面积21×边1×边2×sin(两边的夹角)请注意这个通用公式中使用的一定是正弦sin\sinsin而不是余弦cos\coscos。在直角三角形△PDR\triangle PDR△PDR中我们已知两边为PDPDPD和PRPRPR。这两边的夹角正好是BBB即∠RPD\angle RPD∠RPD。直接套用上述公式面积就是S△PDR12⋅PD⋅PR⋅sin(B)S_{\triangle PDR} \frac{1}{2} \cdot PD \cdot PR \cdot \sin(B)S△PDR21⋅PD⋅PR⋅sin(B)角度二利用传统的“底×\times×高÷\div÷2”来推导如果我们不用上面的夹角面积公式而是用最基础的12×底×高\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}21×底×高同样可以证明为什么是sin(B)\sin(B)sin(B)确定底和高在直角三角形△PDR\triangle PDR△PDR中我们将PDPDPD看作高那么对应的底边就是RDRDRD。面积12⋅RD⋅PD\text{面积} \frac{1}{2} \cdot RD \cdot PD面积21⋅RD⋅PD用三角函数表示底边RDRDRD在直角三角形△PDR\triangle PDR△PDR中角BBB的对边是RDRDRD斜边是PRPRPR。根据正弦的定义sin(B)对边斜边RDPR\sin(B) \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} \frac{RD}{PR}sin(B)斜边对边PRRD由此可以得出底边RDPR⋅sin(B)RD PR \cdot \sin(B)RDPR⋅sin(B)代入面积公式把RDPR⋅sin(B)RD PR \cdot \sin(B)RDPR⋅sin(B)代入到12⋅RD⋅PD\frac{1}{2} \cdot RD \cdot PD21⋅RD⋅PD中就得到了面积12⋅(PR⋅sinB)⋅PD12PD⋅PR⋅sin(B)\text{面积} \frac{1}{2} \cdot (PR \cdot \sin B) \cdot PD \frac{1}{2} PD \cdot PR \cdot \sin(B)面积21⋅(PR⋅sinB)⋅PD21PD⋅PR⋅sin(B)为什么您会直觉觉得应该是cos(B)\cos(B)cos(B)您的直觉其实非常敏锐因为在同一个三角形中高PDPDPD确实和cos(B)\cos(B)cos(B)有关由于PDPDPD是角BBB的邻边所以确实有PDPR⋅cos(B)PD PR \cdot \cos(B)PDPR⋅cos(B)如果我们把PDPRcos(B)PD PR \cos(B)PDPRcos(B)和RDPRsin(B)RD PR \sin(B)RDPRsin(B)同时代入面积公式三角形的面积也可以写成面积12⋅RD⋅PD12(PRsinB)(PRcosB)12PR2sin(B)cos(B)\text{面积} \frac{1}{2} \cdot RD \cdot PD \frac{1}{2} (PR \sin B)(PR \cos B) \frac{1}{2} PR^2 \sin(B)\cos(B)面积21⋅RD⋅PD21(PRsinB)(PRcosB)21PR2sin(B)cos(B)那为什么我们在证明中不这么写呢因为我们的目的是要把左边三角形的角AAA和右边三角形的角BBB结合起来。我们故意保留了PDPDPD没动而是用左边三角形的关系把PDPDPD替换成了与角AAA相关的式子PDPQcos(A)PD PQ \cos(A)PDPQcos(A)。同时我们把RDRDRD替换成了与角BBB相关的式子RDPRsin(B)RD PR \sin(B)RDPRsin(B)。把这两者结合才巧妙地凑出了含有AAA又含有BBB的项面积12⋅PD⋅RD12(PQcosA)⋅(PRsinB)12bccos(A)sin(B)\text{面积} \frac{1}{2} \cdot PD \cdot RD \frac{1}{2} (PQ \cos A) \cdot (PR \sin B) \frac{1}{2} b c \cos(A)\sin(B)面积21⋅PD⋅RD21(PQcosA)⋅(PRsinB)21bccos(A)sin(B)这就是为什么公式里会出现sin(B)\sin(B)sin(B)配合cos(A)\cos(A)cos(A)的原因。
