1.时谐信号定义时谐信号在数学和工程尤其是电路、通信、物理领域中指的就是随时间按正弦或余弦规律变化的周期性信号。时谐信号的一般形式是f ( t ) A c o s ( ω t φ 0 ) f(t)Acos(\omega t\varphi_0)f(t)Acos(ωtφ0​)或者f ( t ) A s i n ( ω t φ 0 ) f(t)Asin(\omega t\varphi_0)f(t)Asin(ωtφ0​)其中A AA是振幅最大值。ω \omegaω是角频率决定信号变化快慢ω 2 π f \omega2\pi fω2πf其中f ff为频率。f ff代表每秒变化多少次。s i n sinsin或c o s coscos只接受弧度f ff代表每秒变化多少次一次就是2 π 2\pi2π弧度正好是一个周期所以2 π f 2\pi f2πf是一秒变化多少次每次是2 π 2 \pi2π因此就代表角频率。相比于频率换了一个角度来衡量。注频率f ff和周期T TT的关系是f 1 / T f1/Tf1/T因此角频率也可以写作2 π / T 2\pi/T2π/T也即单位时间内走过了多少的弧度。φ \varphiφ初相位单位是板度决定t 0 t0t0时波在“哪一段”。其核心特征是单一频率它只包含一个固定频率成分不像方波或三角波包含多次谐波。稳态持续它的振幅、频率和相位在理论上是恒定不变的从t → − ∞ t\to -\inftyt→−∞到 ∞ \infty∞都存在因此也被称为等幅正弦波。与其它信号的区别非时谐信号频率随时间变化。暂态信号只存在一瞬间的脉冲信号如雷击、开关动作不属于时谐信号。物理场如果空间位置也在变化如行波c o s ( ω t − k x ) cos(\omega t-kx)cos(ωt−kx)通常称为“简谐波”而“时谐信号”仅强调时间维度上的简谐性。2.时谐信号的复数表示由欧拉公式e i α c o s α i s i n α e^{i\alpha}cos\alpha isin\alphaeiαcosαisinα取实部得c o s α R e { e i α } cos\alpha Re\{e^{i\alpha}\}cosαRe{eiα}把α ω t ϕ \alpha \omega t\phiαωtϕ代入得A c o s ( ω t ϕ ) R e { A e i ( ω t ϕ ) } Acos(\omega t\phi)Re\{Ae^{i(\omega t\phi)}\}Acos(ωtϕ)Re{Aei(ωtϕ)}把上式拆成两个因子A e i ( ω t ϕ ) R e { A e i ϕ ⏟ 相量 A ~ ⋅ e i ω t ⏟ 旋转因子 } Ae^{i(\omega t\phi)}Re\{\underbrace{Ae^{i\phi}}_{相量\tilde{A}}\cdot \underbrace{e^{i\omega t}}_{旋转因子}\}Aei(ωtϕ)Re{相量A~Aeiϕ​​⋅旋转因子eiωt​​}这一行是相量法的核心逐项拆解A ~ A e i ϕ \tilde{A}Ae^{i\phi}A~Aeiϕ相量phasor一个复常数与时间t tt无关。它把振幅和初相ϕ \phiϕ打包成一个复数模是A幅角是ϕ \phiϕ。一个复数装下振幅相位指的就是它。e i ω t e^{i\omega t}eiωt旋转因子rotation factor)一个随时间变化的单位复数模恒为1。它代表复平面上以角速度ω \omegaω逆时针旋转的算子。二者的乘积A ~ e i ω t A e i ( ω t ϕ ) \tilde{A}e^{i\omega t}Ae^{i(\omega t\phi)}A~eiωtAei(ωtϕ),代表复平面上一个均速旋转的矢量长度恒为A AA时刻t tt的方向角是ω t ϕ \omega t\phiωtϕ。取实部R e { ω t ϕ } Re\{\omega t\phi\}Re{ωtϕ}把这个旋转矢量投影到实轴上就得到一个随时间正弦振荡的实数就是原信号A c o s ( ω t ϕ ) Acos(\omega t\phi)Acos(ωtϕ)。从上图中我们来看红色的箭头代表相量A ~ A e i ϕ \tilde{A}Ae^{i\phi}A~Aeiϕ它本来是一个固定的箭头。一旦乘上e i ω t e^{i\omega t}eiωt左侧大家学过是代表以ω \omegaω的角速度逆时针旋转。它在实轴上的投影就是正弦波A c o s ( ω t ϕ ) Acos(\omega t\phi)Acos(ωtϕ)。旋转的复数取实部的投影正弦波这就是相量法的最重要的直觉。