为什么lim 趋近无穷大 sin(任何东西)/x的a次方 等于0 因为 sin是在-1到1之间? 比sin都要小趋近无穷大的时候?您的直觉非常准确您的思路是完全正确的。这个极限之所以等于000核心原因确实是因为正弦函数sin⁡\sinsin是有界的在−1-1−1到111之间而分母xαx^\alphaxα当α0\alpha 0α0时随着xxx趋于无穷大会变得无限大。一个“有界”的数除以一个“无限大”的数其比值自然就趋于000。在高等数学中我们可以用两种非常经典且严谨的方法来证明和解释这一结论—### 方法一夹逼定理Squeeze Theorem这是最严谨的数学证明方法。1.确定分子的范围 无论括号里的“任何东西”是什么只要它是实数正弦函数的值域都始终被限制在−1-1−1和111之间−1≤sin⁡(任何东西)≤1-1 \le \sin(\text{任何东西}) \le 1−1≤sin(任何东西)≤12.两侧同除以xαx^\alphaxα 因为我们考虑的是x→∞x \to \inftyx→∞的情况所以可以认为x0x 0x0。由于α0\alpha 0α0所以xα0x^\alpha 0xα0。我们在不等式两边同除以xαx^\alphaxα不等号方向不变−1xα≤sin⁡(任何东西)xα≤1xα-\frac{1}{x^\alpha} \le \frac{\sin(\text{任何东西})}{x^\alpha} \le \frac{1}{x^\alpha}−xα1​≤xαsin(任何东西)​≤xα1​3.两端取极限 当x→∞x \to \inftyx→∞时因为α0\alpha 0α0lim⁡x→∞(−1xα)0\lim_{x\to\infty} \left(-\frac{1}{x^\alpha}\right) 0x→∞lim​(−xα1​)0lim⁡x→∞(1xα)0\lim_{x\to\infty} \left(\frac{1}{x^\alpha}\right) 0x→∞lim​(xα1​)04.得出结论 根据夹逼定理左右两边的极限都趋于000夹在中间的项也必须趋于000lim⁡x→∞sin⁡(任何东西)xα0\lim_{x\to\infty} \frac{\sin(\text{任何东西})}{x^\alpha} 0x→∞lim​xαsin(任何东西)​0—### 方法二有界量与无穷小量的乘积在极限运算中有一个非常著名的定理有界函数与无穷小量的乘积仍然是无穷小量。我们可以把原式拆写为乘积的形式sin⁡(任何东西)xαsin⁡(任何东西)⋅1xα\frac{\sin(\text{任何东西})}{x^\alpha} \sin(\text{任何东西}) \cdot \frac{1}{x^\alpha}xαsin(任何东西)​sin(任何东西)⋅xα1​sin⁡(任何东西)\sin(\text{任何东西})sin(任何东西)是一个有界函数其绝对值不超过111。当x→∞x \to \inftyx→∞且α0\alpha 0α0时1xα\frac{1}{x^\alpha}xα1​是一个无穷小量**极限为000。根据上述定理一个始终在[−1,1][-1, 1][−1,1]之间波动的数乘以一个无限趋近于000的数其乘积也必然无限趋近于000。—### 总结书本上写的lim⁡x→∞sin⁡(任何东西)xα0\lim_{x\to\infty} \frac{\sin(\text{任何东西})}{x^\alpha} 0limx→∞​xαsin(任何东西)​0是正确的。图中的具体例子里* 分子上的sin⁡(3000x9)\sin(3000x^9)sin(3000x9)在x→∞x \to \inftyx→∞时一直在−1-1−1到111之间震荡而分母是3x23x^23x2。所以lim⁡x→∞sin⁡(3000x9)3x20\lim_{x\to\infty} \frac{\sin(3000x^9)}{3x^2} 0limx→∞​3x2sin(3000x9)​0。* 分母上的cos⁡(22x)\cos(22x)cos(22x)同理其余弦函数的值也在−1-1−1到111之间除以2x22x^22x2后极限也是000。