布里奥斯基公式Brioschi formulaK∣−12g11,22g12,12−12g22,1112g11,1g12,1−12g11,2g12,2−12g22,1g11g1212g22,2g12g22∣−∣012g11,212g22,112g11,2g11g1212g22,1g12g22∣(g11g22−g122)2K \frac{\begin{vmatrix} -\frac{1}{2}g_{11,22} g_{12,12} - \frac{1}{2}g_{22,11} \frac{1}{2}g_{11,1} g_{12,1} - \frac{1}{2}g_{11,2} \\ g_{12,2} - \frac{1}{2}g_{22,1} g_{11} g_{12} \\ \frac{1}{2}g_{22,2} g_{12} g_{22} \end {vmatrix} - \begin{vmatrix} 0 \frac{1}{2}g_{11,2} \frac{1}{2}g_{22,1} \\ \frac{1}{2}g_{11,2} g_{11} g_{12} \\ \frac{1}{2}g_{22,1} g_{12} g_{22} \end{vmatrix}}{(g_{11}g_{22} - g_{12}^2)^2}K(g11​g22​−g122​)2​−21​g11,22​g12,12​−21​g22,11​g12,2​−21​g22,1​21​g22,2​​21​g11,1​g11​g12​​g12,1​−21​g11,2​g12​g22​​​−​021​g11,2​21​g22,1​​21​g11,2​g11​g12​​21​g22,1​g12​g22​​​​曲率就存在于度规张量的二阶导数中。逗号符号是关键g11,22g_{11,22}g11,22​表示g11g_{11}g11​关于第二个坐标求两次导数。二阶导数。g12,12g_{12,12}g12,12​表示g12g_{12}g12​先关于第一个坐标求一次导数再关于第二个坐标求一次导数。也是二阶导数。g11,1g_{11,1}g11,1​表示g11g_{11}g11​关于第一个坐标求一次导数。一阶导数。g12,1g_{12,1}g12,1​表示g12g_{12}g12​关于第一个坐标求一次导数。一阶导数。因此第一个行列式的左上角元素那个神秘的−12g11,22g12,12−12g22,11-\frac{1}{2}g_{11,22} g_{12,12} - \frac{1}{2}g_{22,11}−21​g11,22​g12,12​−21​g22,11​完全由二阶导数组成。这是曲率信息所在之处。而顶行和左列的其余部分包含一阶导数。它们就像支撑结构。是确保行列式正确平衡所必需的。而右下角的2×22\times22×2子矩阵那纯粹是度规分量本身。完全没有导数。纯粹的gijg_{ij}gij​。因此整个公式具有这样的分层结构二阶导数位于一角一阶导数沿边缘分布度规值位于主体部分。第二个行列式即被减去的那个。左上角的元素是000。然后顶行有12g11,2\frac{1}{2}g_{11,2}21​g11,2​和12g22,1\frac{1}{2}g_{22,1}21​g22,1​。而左列与之完全对应12g11,2\frac{1}{2}g_{11,2}21​g11,2​和12g22,1\frac{1}{2}g_{22,1}21​g22,1​。它在对角线上是对称的。第一个行列式也有类似的特性虽非完全对称但几乎如此。这些元素仿佛正在通过对角线相互对话。这绝非偶然。度规张量本身就是对称的g12g21g_{12} g_{21}g12​g21​始终成立。这种对称性向上传播渗透到由它构成的所有结构中。整个公式都继承了这一特性。站在曲面上的某一点。该点的度量告诉你那里距离是如何运作的它给你g11g_{11}g11​、g12g_{12}g12​、g22g_{22}g22​。现在你在第一个坐标方向上迈出一小步。你到达了一个邻近的点那里的度量略有不同。g11g_{11}g11​发生了一点变化。g11,1g_{11,1}g11,1​只是在问在这个方向上每单位步长g11g_{11}g11​变化了多少所以它并不是对曲面本身求导。它是对度规分量求导观察随着你的移动这把“尺子”是如何变化的。这就是为什么曲率需要这些导数。单一点处的度规无法告诉你曲率一个曲面和一个平面在某一点上可能具有完全相同的度规。必须观察度规在移动过程中的变化。这种变化正是曲率所在之处。