文章目录写在前面为什么要有这篇文章一、集合论基础从“集合”到“集合的集合”1.1 幂集2 Ω 2^\Omega2Ω二、几种重要的集合类由弱到强2.1π \piπ-系统交封闭类2.2 可数封闭为什么“可数”反而更“大”2.3σ \sigmaσ-代数测度论的主角2.4 几个常用定理帮你省去重复证明三、对合与同构贯穿逻辑、集合、代数的统一视角3.1 对合Involution3.2 自同构Automorphism3.3 反自同构Anti-automorphism3.4 对偶同构Dual Isomorphism四、德·摩根律对偶同构的最佳代言人4.1 命题逻辑中的德·摩根律4.2 集合论中的德·摩根律4.3 矩阵转置也在“模仿”德·摩根律五、代数Algebra比σ \sigmaσ-代数弱但也很重要本科时随机变量是“有分布的实数”研究生时随机变量变成了“可测映射”。这不仅仅是换个说法而是从“算结果”到“看结构”的思维跃迁。写在前面为什么要有这篇文章很多人到了研究生阶段第一次接触测度论时都会懵为什么要引入σ \sigmaσ-代数为什么要把集合类class翻来覆去地定义成π \piπ-系统、代数、σ \sigmaσ-代数为什么随机变量突然变成了“可测映射”这篇文章不是为了抄书而是为了回答一个核心问题“如果我还是用本科那一套理解概率会在哪里卡死”一、集合论基础从“集合”到“集合的集合”小时候我们学集合论研究的是元素与集合的关系。但读研之后我们要研究集合与集合之间的关系。1.1 幂集2 Ω 2^\Omega2Ω一个集合 $\Omega $ 的所有子集组成的集合记作2 Ω { A ∣ A ⊆ Ω } 2^\Omega \{ A \mid A \subseteq \Omega \}2Ω{A∣A⊆Ω}它不再是一个“普通集合”而是一个集合类class of sets。集合类就是由集合组成的集合。它是测度论的“基本操作单位”。二、几种重要的集合类由弱到强2.1π \piπ-系统交封闭类定义如果集合类A \mathcal{A}A中任意两个集合的交集仍然在A \mathcal{A}A中则称A \mathcal{A}A为π \piπ-系统。A , B ∈ A ⇒ A ∩ B ∈ A A, B \in \mathcal{A} \Rightarrow A \cap B \in \mathcal{A}A,B∈A⇒A∩B∈A反例一个集合类不包含空集但里面两个集合的交集产生了空集那它就不是π \piπ-系统。正例幂集2 Ω 2^\Omega2Ω本身就是一个π \piπ-系统。2.2 可数封闭为什么“可数”反而更“大”这是本科和研究生第一个反直觉的地方“可数封闭”的意思是对无限次运算也封闭。但是“并封闭” ≠ “并可数封闭”。经典反例A { A ⊂ R ∣ A 只包含有限个元素 } \mathcal{A} \{ A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ 只包含有限个元素} \}A{A⊂R∣A只包含有限个元素}对有限并封闭 ✅对可数并不封闭 ❌因为{ 1 } ∪ { 2 } ∪ { 3 } ∪ ⋯ N ∉ A \{1\} \cup \{2\} \cup \{3\} \cup \cdots \mathbb{N} \notin \mathcal{A}{1}∪{2}∪{3}∪⋯N∈/A这就是为什么我们要专门定义“可数封闭”——因为有限封闭不够用。2.3σ \sigmaσ-代数测度论的主角如果集合类A ⊆ 2 Ω \mathcal{A} \subseteq 2^\OmegaA⊆2Ω满足以下三条则称它为σ \sigmaσ-代数Ω ∈ A \Omega \in \mathcal{A}Ω∈A对补集封闭A ∈ A ⇒ A c ∈ A A \in \mathcal{A} \Rightarrow A^c \in \mathcal{A}A∈A⇒Ac∈A对可数并封闭A n ∈ A ⇒ ⋃ n 1 ∞ A n ∈ A A_n \in \mathcal{A} \Rightarrow \bigcup_{n1}^{\infty} A_n \in \mathcal{A}An​∈A⇒n1⋃∞​An​∈A有了σ \sigmaσ-代数我们才能定义“可测空间”也才能让极限运算在集合上合法。2.4 几个常用定理帮你省去重复证明若集合类补封闭且交封闭 → 则并封闭反之亦然若补封闭且可数交封闭 → 则可数并封闭反之亦然差集封闭 → 交集封闭即π \piπ-系统三、对合与同构贯穿逻辑、集合、代数的统一视角这是本文最“爽”的部分。你会发现德·摩根律、矩阵转置、取反操作本质上是一回事。3.1 对合Involution一个一元运算f ff如果满足f ( f ( x ) ) x f(f(x)) xf(f(x))x则称f ff为对合。例子取相反数− ( − x ) x -(-x) x−(−x)x矩阵转置( A T ) T A (A^T)^T A(AT)TA逻辑非¬ ( ¬ p ) p \neg(\neg p) p¬(¬p)p集合补( A c ) c A (A^c)^c A(Ac)cA3.2 自同构Automorphism一个一元运算f ff和二元运算∘ \circ∘如果满足f ( x ∘ y ) f ( x ) ∘ f ( y ) f(x \circ y) f(x) \circ f(y)f(x∘y)f(x)∘f(y)则称f ff是自同构。强调运算符号不变。3.3 反自同构Anti-automorphism如果满足f ( x ∘ y ) f ( y ) ∘ f ( x ) f(x \circ y) f(y) \circ f(x)f(x∘y)f(y)∘f(x)则称f ff是反自同构。典型例子矩阵转置( A B ) T B T A T (AB)^T B^T A^T(AB)TBTAT3.4 对偶同构Dual Isomorphism如果二元运算发生变化变成它的对偶运算f ( x ∘ y ) f ( x ) ⋆ f ( y ) f(x \circ y) f(x) \star f(y)f(x∘y)f(x)⋆f(y)其中∘ \circ∘和⋆ \star⋆互为对偶运算则称f ff为对偶同构。对偶运算构成一个对偶格dual lattice。四、德·摩根律对偶同构的最佳代言人4.1 命题逻辑中的德·摩根律设合取conjunct为∧ \land∧析取disjunct为∨ \lor∨否定negate为¬ \lnot¬。¬ ( p ∨ q ) ¬ p ∧ ¬ q \lnot(p \lor q) \lnot p \land \lnot q¬(p∨q)¬p∧¬q¬ ( p ∧ q ) ¬ p ∨ ¬ q \lnot(p \land q) \lnot p \lor \lnot q¬(p∧q)¬p∨¬q否定把∧ \land∧变成∨ \lor∨把∨ \lor∨变成∧ \land∧。这就是“对偶同构”。4.2 集合论中的德·摩根律( A ∩ B ) c A c ∪ B c (A \cap B)^c A^c \cup B^c(A∩B)cAc∪Bc( A ∪ B ) c A c ∩ B c (A \cup B)^c A^c \cap B^c(A∪B)cAc∩Bc4.3 矩阵转置也在“模仿”德·摩根律虽然矩阵乘法不交换但转置满足( A B ) T B T A T (AB)^T B^T A^T(AB)TBTAT它颠倒了顺序。如果乘法可交换比如数乘它就“看起来像”德·摩根律。这说明德·摩根律的本质是“翻转后再对偶”。五、代数Algebra比σ \sigmaσ-代数弱但也很重要集合类A ⊆ 2 Ω \mathcal{A} \subseteq 2^\OmegaA⊆2Ω称为代数如果满足Ω ∈ A \Omega \in \mathcal{A}Ω∈A对差集封闭A , B ∈ A ⇒ A ∖ B ∈ A A, B \in \mathcal{A} \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal{A}A,B∈A⇒A∖B∈A对并集封闭A , B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A A, B \in \mathcal{A} \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{A}A,B∈A⇒A∪B∈A代数只要求有限运算封闭不要求可数运算封闭。